2.2.2.2 Resistencia auxiliar con voltímetro

Este método de medición usa un voltímetro y una resistencia auxiliar en vez de un amperímetro, para realizar por ley de ohm los cálculos de la medición de corriente deseada.

• Introducción:

Este método de medición usa un voltímetro y una resistencia auxiliar en vez de un amperímetro y así realizar cálculos por ley de ohm para determinar la medición de corriente deseada, "Este método es aplicable a circuitos en los que la corriente que va a ser medida es inferior o comparable con el valor de solución del amperímetro, lo cual haría que al realizar una medición con conexión de amperímetro, el valor detectado fuese nulo."(Barrrera, 2011, pág. 34).

Consta de usar una resistencia auxiliar la cual se encarga de recibir un valor de corriente muy grande que no es capaz de soportar el voltímetro, por otro lado el voltímetro se encarga de realizar una medición de tensión sobre los puntos a-b y así por medio de cálculos matemáticos (ley de ohm) determinar la corriente medida del sistema.

A continuación se podrá observar una comparación de los métodos de medición R-Auxiliar vs medición directa. (Ya que al ser la medición directa un referente de todo estudiante es perfecto para mostrar las diferencias de este método de medición):

Figura 2.2.2.2.1 Medición Directa Vs Medición R-auxiliar

Como es apreciable en la figura anterior, en el método de R-auxiliar no solo interviene el voltímetro sino que además se encuentra presente una resistencia llamada auxiliar, la cual se encuentra en paralelo con respecto al voltímetro formando así entre ambas un divisor resistivo:

Figura 2.2.2.2.2 Medición R-auxiliar con resistencia del voltímetro

Siendo Rvolt la resistencia que presenta el voltímetro dada por el fabricante la cual afecta el circuito en el cual se desea realizar un análisis.

Además se busca que la corriente que pasa a través del voltímetro (Ivolt) sea lo más pequeña posible, esto con el fin de proteger al equipo de medición y afectar lo menos posible al sistema ya que así se garantiza que la mayor parte de la corriente pase a través de la resistencia auxiliar (Iaux) la cual será la corriente que represente la corriente I1 medida.

Una ventaja importante de este método de medición es que se es capaz de realizar un análisis desde el error, el cual permitirá controlar el porcentaje con el cual el sistema de medición tendrá repercusión sobre el circuito

• Recomendaciones:

Estas recomendaciones se verán explicadas con profundidad en el concepto teórico.

• La resistencia auxiliar Raux debe ser mucho más pequeña que la resistencia del voltímetro Rvolt (Raux << Rvolt).
• La corriente que circula por el voltímetro debe ser lo más pequeña posible.

• Concepto Teórico:

La medición de corriente como cualquier otra medición de una variable eléctrica partirá del circuito equivalente Thevenin de donde se quiera realizar la medición (esto con el fin de simplificar el análisis), en este caso se quiere realizar la medición de la corriente I1:

Figura 2.2.2.2.3 Elementos de medida

Figura 2.2.2.2.4 Ubicación puntos a-b

La ubicación de los puntos a-b estarán dados por el lugar donde se encuentran los elementos de medida (Voltímetro y R-Auxiliar), y visto desde allí se hallara Vth y Rth respectivamente, es decir se extraen los elementos de medida y con el "nuevo" circuito serán hallados los valores.

Figura 2.2.2.2.5 Equivalente Thevenin visto desde a-b

Es en este circuito donde se realizara el análisis incluyendo el sistema de medida y realizando los cálculos pertinentes para determinar los valores de:

• Corriente
• Potencia
• Error relativo
• Error Absoluto
• Incertidumbre de la medida

De acuerdo a la teoría vista en circuitos D.C la tensión Thevenin y resistencia Thevenin son los valores vistos desde los puntos a-b, por lo que si cerramos el circuito y se obtiene la corriente Norton esta equivale al valor de la corriente I1.

Figura 2.2.2.2.6 Equivalente Thevenin-Modelo ideal

Del circuito equivalente Thevenin analizado como un circuito ideal se puede obtener que:

Ecuación 2.2.2.2.1 Corriente I verdadera

Este valor hará mención al valor que se cree convencionalmente verdadero o valor teórico.

Si se integra el sistema de medida en el circuito se obtiene el siguiente circuito

Figura 2.2.2.2.7 Equivalente Thevenin con sistema de medición

Debido a su configuración (resistencia Raux en serie con el equivalente Thevenin y medición de tensión como alternativa) es una buena solución para medir corrientes que son inferiores al rango del equipo, siendo el opuesto del método de medición por resistencia Rshunt (ya que para este es más sencillo medir corrientes superiores al rango del equipo y no es capaz de ver corrientes por debajo al rango):

Realizando el mismo análisis de corriente Norton se obtendrá el valor I1 medido del circuito (Im):

Ecuación 2.2.2.2.2 Corriente medida

A continuación por medio del análisis del error se demostrara las limitaciones del sistema de medición por R-aux al sistema:

Ecuación 2.2.2.2.3 Análisis desde el error

Aunque normalmente se haga una selección de resistencia la cual cumpla con un error menor al Er = -1%, este error ya indica el funcionamiento del sistema de medición por resistencia auxiliar.

Recordando que:

Ecuación 2.2.2.2.4 Valor resistencia paralelo

Es decir Rp depende de un valor el cual será determinado por un paralelo de resistencias
Esto quiere decir que la resistencia paralela adoptara un valor de acuerdo a las resistencias que se comparen entre R-auxiliar y R-voltimetro.

• Si Rvolt >> Raux el paralelo será igual a Raux
• Si Rvolt es << Raux el paralelo será igual a Rvolt
• Si Rvolt = Raux el paralelo será 0.5*Rvolt o 0.5*Raux
• Si Rvolt y Raux no son comparables el valor de paralelo nunca podrá superar a la resistencia más pequeña.

Como lo ideal es que por el voltímetro circule la menor cantidad de corriente se descarta que Rvolt sea mucho menor que Raux (esto con el fin de proteger tanto al equipo como al operador de este), por lo que las condiciones que no se cumplen en este tipo de medición son:

• Si Rvolt es << Raux el paralelo será igual a Rvolt: debido a que si la resistencia Rvolt es menor la mayor parte de la corriente atravesara al equipo de medición.
• Si Rvolt = Raux el paralelo será 0.5*Rvolt o 0.5*Raux: debido a que si son iguales la corriente se dividirá en dos por lo que sí es una corriente eléctrica lo suficientemente grande puede llegar a dañar al equipo y generarle lesiones al operador del equipo.
• Si Rvolt y Raux no son comparables el valor de paralelo nunca podrá superar a la resistencia más pequeña: al dejar una única condición esta desaparece.

Descartando las demás condiciones únicamente se cuenta con que:

• Si Rvolt >> Raux el paralelo será igual a Raux: determinando así que la mayor parte de la corriente atravesara a Raux (siendo una corriente muy parecida a la corriente I medida)

Por ejemplo si se tiene una corriente de 200 [A] lo ideal es que esta corriente sea la que atraviese a Raux pero al ser el voltímetro parte del circuito existirá una división de corriente. Al escoger la tensión que se desea ver en el equipo (siendo el error el que apoye esta decisión como se ve más adelante) se puede determinar la corriente que pasa a través de él (Ivolt), por lo que la corriente del voltímetro depende de la tensión que se desee ver y gracias a la ley de ohm se sabe que a menor tensión - menor corriente (son directamente proporcionales).

Ahora el error está determinado por:

Ecuación 2.2.2.2.5 Error relativo

Entonces será la resistencia Thevenin la que determine que tan confiable será la medición, sin olvidar la condición usada para este sistema de medida (Rvolt >> Raux):

• Si Rth >> Rp el error tiende a acercarse a 0 (ya que es la división de un valor muy pequeño sobre uno muy grande).
• Si Rth << Rp el error tiende a acercarse a 1 (ya que es la división de un valor muy grande sobre uno muy pequeño).
• Si Rth es igual a Rp el error será 0.5 (ya que es la división de un número (Rp) sobre su duplicado (Rp+Rth)).

Con este análisis del error es posible determinar el valor que debe tomar la resistencia Rp simplemente seleccionando el error que deseamos en el sistema de medición, ya que el valor de la resistencia Thevenin depende del circuito a analizar y por lo tanto se mantendrá igual con o sin sistema de medición.

A continuación usando el error relativo que depende de las resistencias despejara para para la resistencia Rp teniendo en cuenta que el error es seleccionado por el usuario Er=(-0,1% - -1%) o Er=(-0,001 - -0,01):

Ecuación 2.2.2.2.6 Resistencia paralelo desde el error

Recordando que el error se da en valores en lo que se refiere a mediciones eléctricas se da en valores NEGATIVOS, por ejemplo un error comúnmente usado es Er = -1% o Er % = -0,01.

Una vez determinado el valor de la resistencia paralelo es posible determinar el valor que puede tomar la resistencia auxiliar (Raux) despejando desde la resistencia paralelo (Rp) debido a que se conoce por catálogo el valor de la resistencia del amperímetro:

Ecuación 2.2.2.2.7 Resistencia paralelo desde el error

Nota: Al ser la resistencia del voltímetro un valor normalizado de 10 [MΩ] (aun así se debe consultar el catálogo del equipo) garantiza que la operación  de un valor positivo y por ende el valor final de Raux será correcto, además de que no es común encontrar Rth en el rango de los [GΩ], en donde el sistema puede dar fallos:

De acuerdo a estas limitaciones se encontró que el valor que debe tomar la resistencia Thevenin (Rth) visto en el peor de los casos (Er = -1%) es de:

Ecuación 2.2.2.2.8 Resistencia paralelo igual a multímetro - 1% de error

Por lo que esto deja un gran margen de operación ya que la resistencia paralelo (Rp) depende de la resistencia Thevenin (Rth) y el error (Er%).

Al no poder relacionar directamente el voltaje medido por el equipo (Volt) con la corriente medida (Im), la corriente verdadera (Iv) y el error (Er%) este es el análisis más adecuado para la selección de resistencia Raux.

Una vez determinado el valor de Raux (el cual se corresponde con el error seleccionado por el operador) se debe normalizar el valor de acuerdo a los valores comerciales existentes.

Lo ideal es acercarse lo máximo al valor de Raux calculado para así no alterar mucho el error, debido a que en muchas ocasiones no es posible obtener una resistencia con el valor exacto, el operador debe "fabricar" con una cantidad de resistencias en serio y/o paralelo de acuerdo a lo que le parezca necesario.

Con esto se encuentra un valor Raux Normalizado el cual posee un valor de incertidumbre que puede ser determinado por el equipo de medición usado y su catálogo (óhmetro) o por el valor de tolerancia que es dada por el fabricante, y así poder realizar unos los cálculos sobre el circuito que se acercan a la realidad:

• Normalización e Incertidumbre de Raux, Im, Iaux, Vth, Vvolt, Ivolt:

Normalizar los valores hace referencia a los valores que se van a usar en la práctica, por lo tanto todos los datos calculados de aquí en adelante son los valores que deben verse reflejados en el sistema cuando se hagan las mediciones correspondientes, es decir valores reales.

Al ser calculada Raux se debe encontrar un valor comercial aproximado (ya sea fabricación propia con varias resistencias o una única resistencia) y realizar las correcciones adecuadas al sistema con el nuevo valor de Raux (normalización de los valores), por lo que la incertidumbre de Raux será determinado por un equipo de medición o dada por el fabricante (tolerancia):

Ecuación 2.2.2.2.9 Incertidumbre Raux normalizada

Con este valor de Raux normalizado se puede calcular la resistencia paralelo existente entre Raux y Rvolt:

Ecuación 2.2.2.2.10 Resistencia paralelo

Gracias a este cálculo la incertidumbre se propaga hacia la resistencia paralela, ya que depende de la resistencia auxiliar que posee incertidumbre y la resistencia del equipo que es una constante:

Ecuación 2.2.2.2.11 Calculo incertidumbre Resistencia paralelo

Aunque parezca complicada la derivación se usa la derivación de un cociente recordando que RauxN es el valor variable:

Ecuación 2.2.2.2.12 Calculo incertidumbre Resistencia Paralelo Normalizada

Con este valor de resistencia paralela se recalcula el valor de la corriente Im y así observar que tanto cambia respecto a los cálculos iniciales, este valor de Im es el que se debe observar a la hora de realizar las mediciones:

Ecuación 2.2.2.2.13 Calculo Corriente medida Normalizada

Con el valor de corriente medida normalizada (Im N) se puede realizar el cálculo de tensión sobre la resistencia Thevenin, esto con el fin de determinar el valor de la tensión vista por el voltímetro:

Ecuación 2.2.2.2.14 Calculo Tensión VRth normalizado

El valor de tensión Vvolt se calcula por medio de una ley de tensión, aunque en teoría no debería haber grandes cambios en su valor se deben re calcular todos los valores en base al valor de Raux normalizado, el valor de la tensión Thevenin Vth se mantiene igual, esto se debe a que depende del sistema y no del sistema de medición por eso es la base de los cálculos:

Ecuación 2.2.2.2.15 Calculo Tensión Vvolt normalizado

Ahora se puede calcular el valor de la corriente vista por el equipo de medida, ya que no se puede afirmar que el valor de Ia se mantenga igual debido a Rsh.

El sistema de medición cambia debido a que la resistencia Rsh calculada y normalizada presentara cambios (aunque sean mínimos) y por lo tanto se debe realizar la corrección adecuada al sistema de medida:

Ecuación 2.2.2.2.16 Calculo corriente en el equipo normalizada

Con el cálculo de la corriente vista por el equipo ya normalizada se puede empezar a calcular las incertidumbres presentes en el sistema de medición:

• La tensión Vvolt depende del equipo de medición ya que es la tensión que ve el equipo, por lo tanto de acuerdo a la selección del rango más adecuado para su medición se procede al cálculo de su incertidumbre.

Ecuación 2.2.2.2.17 Incertidumbre tensión Vvolt Normalizada

Por otra parte la corriente que pasa a traves del equipo depende de la tensión Vvolt y la resistencia Rvolt, al ser la resistencia un valor entregado por el catálogo del equipo este se considera un valor constante (a menos que el catalogo especifique lo contrario) lo que indica que no posee incertidumbre, por lo tanto la incertidumbre de Ivolt se calcula como la propagación de la incertidumbre con una variable:

Ecuación 2.2.2.2.18 Calculo Incertidumbre Ivolt Normalizada

Al poseer la incertidumbre de la tensión Vvolt y la resistencia auxiliar se puede realizar el cálculo de propagación de la incertidumbre hacia la corriente Iaux vista desde la ley de ohm:

Ecuación 2.2.2.2.19 Calculo Incertidumbre Iaux Normalizada

Recordando el peor de los casos que es la suma entre incertidumbres, por eso se "ignora" el signo negativo en la derivación respecto a la resistencia Raux.

Una vez determinada la incertidumbre de Ivolt N e Iaux N se puede determinar la incertidumbre de la corriente medida por medio de una ley de corrientes de Kirchhoff, es decir la suma entre incertidumbres:

Ecuación 2.2.2.2.20 Calculo Incertidumbre Im Normalizada

Por medio de una ley ohm se puede determinar la incertidumbre de la tensión sobre la resistencia Thevenin VRth, ya que se posee la incertidumbre de la corriente medida (propagación) y la resistencia Thevenin (catalogo):

Ecuación 2.2.2.2.21 Calculo Incertidumbre VRth Normalizada

Y por último con los valores de incertidumbre de Vvolt y VRth por medio de una ley de tensión de Kirchhoff se puede realizar el cálculo de la incertidumbre para Vth, es decir la suma entre incertidumbres:

Ecuación 2.2.2.2.22 Calculo Incertidumbre Vth Normalizada

Y así finaliza el cálculo de las principales variables del sistema con normalizaciones e incertidumbres (Vth, Rth, Im, Raux, VRth, Iaux, Ivolt, Vvolt), para el cálculo de potencias solo hay que aplicar la ley de ohm de potencia y la propagación de incertidumbre en la multiplicación de dos variables pero con el fin de no alargar el texto esto se deja al análisis del estudiante para cada uno de los casos:

Ecuación 2.2.2.2.23 Calculo de potencia con incertidumbre

Este análisis se ha realizado teniendo en cuenta que no es posible medir la tensión Thevenin, en caso de ser posible los cálculos se ven reducidos y es tarea del estudiante realizar el análisis de propagación de incertidumbre tomando como base de análisis la teoría previamente explicada.
Conclusiones:

• Este método permite libertad al estudiante de seleccionar el error de la medición mediante un análisis del error de las resistencias.

• El rango de operación de un voltímetro es superior al de un amperímetro, por lo que es posible garantizar un rango lo bastante grande para trabajar (valor máximo de resistencia Thevenin = 1[GΩ]).

 

2.2.2.1 Resistencia Shunt con amperímetro	2.3 Medición de FEM y Diferencia de potencial