1.8 Relaciones fasoriales en elementos de circuitos (R, L y C)

Utilizando la representación de la onda sinusoidal en el dominio de la frecuencia, un fasor, se puede establecer las ondas producidas en los elementos del circuito a partir de una fuente.

El circuito en el dominio de la frecuencia cumple al igual que en el domino del tiempo con la Ley de Ohm y las Leyes de Kirchhoff, lo cual se verá más adelante.

1.8.1 Impedancia

Este concepto es propio del dominio frecuencial para referirse a la oposición de los elementos eléctricos al paso de la corriente eléctrica, es equivalente a la resistencia en el análisis temporal.

Ecuación 8.1

La relación fasorial del voltaje empleado y corriente producida es la impedancia, medida en Ohmios y es a su vez, la oposición al paso de corriente en el elemento. No es un fasor, es una cantidad compleja que no depende del tiempo ni varia sinusoidalmente. Ahora, se determina que compone la impedancia:

Ecuación 8.2

Al descomponer la forma exponencial a rectangular, aparece el concepto de resistencia R y de reactancia X, la resistencia es parte real y la reactancia es la componente imaginaria del fasor o vector giratorio, la cual si es positiva es inductiva y si es negativa es capacitiva. No necesariamente la impedancia viene acompañada de la reactancia. Cuando la parte imaginaria es cero, la impedancia es puramente resistiva y cuando la componente real es cero puede ser puramente inductiva o capacitiva.

La impedancia para los tres dispositivos pasivos es diferente pero la relación de voltaje y corriente fasorial es igual. A continuación se detalla cada uno.

Resistencia: la impedancia se determina pasando la Ley de Ohm en el dominio del tiempo al dominio de la frecuencia.

Ecuación 8.3

Bobina: se obtiene la impedancia de la bobina suponiendo una corriente en su ecuación de voltaje vista en el capítulo 1.3:

Por identidad de Euler se obtiene que:

Ecuación 8.4

Gráficamente, la bobina ocupa la reactancia de la impedancia, es decir, el eje imaginario, a si mismo es determinada multiplicando la inductancia por la frecuencia del circuito, idealmente no tiene parte real.

Conceptualmente, los circuitos con frecuencias enormes la bobina es un corto circuito pero cuando la frecuencia es nula (corriente directa), la bobina es un circuito abierto.

Condensador: utilizando la ecuación de corriente del condensador vista en el capítulo 1.5 con un voltaje sinusoidal se obtiene su impedancia.

Ecuación 8.5

Gráficamente, el condensador ocupa el eje imaginario de la impedancia pues es multiplicado por el número complejo. Su reactancia es determinada multiplicando la capacitancia por la frecuencia del circuito. Idealmente no tiene parte real.

Conceptualmente, la reactancia capacitiva está multiplicada por la frecuencia y de depende de ella, por eso se comporta para enormes valores de frecuencia como un corto circuito y para valores nulos, corriente directa, como un circuito abierto.

1.8.1.1 Impedancia equivalente

La reducción de impedancias se desarrolla dependiendo de su conexión dispuesta, sea en serie cuando fluye la idéntica corriente y en paralelo cuando es igual la tensión aplicada a varios elementos, para posteriormente sumarlos y encontrar su equivalente. Se debe tener presente que la parte real, la resistencia no se suma con la parte imaginaria, la reactancia, pero si la reactancia inductiva con la capacitiva por estar ambas en el eje imaginario. La parte real y la parte compleja forman la impedancia.

Conexión en serie

Considerando un circuito con impedancias adecuadas en serie alimentado con una fuente de voltaje fasorial se puede establecer que:

Ecuación 8.6

Conexión en paralelo

En el arreglo de impedancias en paralelo donde cada elemento comparte la misma tensión puede analizarse de la siguiente manera:

Ecuación 8.7

 

Vector giratorio y generación de funciones sinusoidales	Leyes de Kirchhoff en el dominio de la frecuencia