1.2 Números complejos

Las ecuaciones (x²+1=0) que tiempos anteriores no parecían tener solución "comprensible" debieron esperar hasta que se descubriera la utilidad de considerar las raíces cuadradas de números negativos como parte de la solución, terminando por encontrar aplicaciones y usos en diferentes ámbitos, particularmente en la Electricidad.

El manejo de números complejos en la electricidad viene enfocado al análisis en el dominio de la frecuencia de circuitos con señales periódicas, logrando así un fácil manejo en comparación con el análisis en el dominio del tiempo.

1.2.1 Forma rectangular, polar y exponencial

Forma rectangular

Un número complejo se constituye por una parte real y una imaginaria, representandas en forma rectangular por:

Ecuación 2.1

Donde i es la parte imaginaria y x es la parte real y y es un número real. Para no generar confusión con el manejo de la corriente eléctrica con la parte imaginaria (i), se trabaja de la siguiente forma:

Ecuación 2.2

Forma polar

Un número complejo se representa también a traves de su magnitud y ángulo formado con el eje real

Ecuación 2.3

Ecuación 2.4

La determinación del ángulo se fundamenta de acuerdo al cuadrante donde se ubique el número complejo, es decir:

Dado a la ubicación del número complejo, el ángulo correspondiente es:

Entre tanto, la relacion entre ambas formas cumple:

Ecuación 2.5

Entonces, la relacion es:

Ecuación 2.6

Forma exponencial

Un número complejo se puede expresar de forma exponencial teniendo en cuenta las series de Taylor la cual expone que es posible representar cualquier función por la suma de varios valores. Así, la función de euler se desglosada en las series de Taylor:

Ecuación 2.7

Desarrollando la serie de Taylor para la función coseno y seno, se observa que ambas funciones contienen una parte de la función de Euler.

Ecuación 2.8

Ecuación 2.9

Ahora, calculando la funcion en el plano complejo se obtiene:

Ecuación 2.10

1.2.2 Operaciones fundamentales

En la suma de números complejos se agrupa por separado cada parte del número complejo, realizando la suma en la parte real y en la imaginaria, dando por resultado un número complejo, por ejemplo:

En la resta para los números complejos se aplica el mismo procedimiento que la suma.

Para multiplicar números complejos es preciso conocer la potenciación de un imaginario j² y luego realizar la operación algebraica. A continuación un ejemplo sencillo:

En la división es esencial saber el cálculo de potencias y el conjugado para cualquier número imaginario, entonces así se desarrollar la operación algebraica.

1.2.3 Identidad de Euler

Teniendo en cuenta la forma exponencial de un número complejo descrita anteriormente, que pasaría si se evalúa la formula de Euler cuando x=π

Ecuación 2.11

Esta identidad es muy importante porque muestra la evolución en las operaciones aritméticas y relaciona conceptos números importantes para las matemáticas y para el cálculo.

 

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