1.12. Ejercicio Situado 5: Respuesta de un circuito de primer orden RL, frente a dos fuentes con señales diferentes.

Carlos Ruíz y Andrés Rodríguez, estudiantes del proyecto curricular de Tecnología en sistemas eléctricos de media y baja tensión, ya comprenden el funcionamiento de los elementos almacenadores de energía frente a fuentes constantes; por ello deciden después de la sesión de clase sobre el tema de “Respuesta completa ante fuentes distintas a la escalón, como senoidales, rampas, polinomiales y combinaciones, a realizar una práctica libre con autorización de su docente para observar el comportamiento del modelo real de la inductancia alimentada con otro tipo de fuentes.

Los estudiantes proceden a diseñar su circuito, en el cual quieren observar la transición entre la carga ante una fuente DC y una fuente sinusoidal para montarlo en el Laboratorio de Maquinas eléctricas.

Valores nominales cargas:

Para ser precisos, se miden las cargas del Módulo DL1017 DeLorenzo a una frecuencia de operación de 60 Hz utilizando el Puente RLC FLUKE PM6306 (cargas inductivas y capacitivas) y el multímetro FLUKE 289 (carga resistiva) registrando los siguientes valores:

Tabla 5.12.1Valores nominales de las cargas resistivas Módulo DL1017

Tabla 5.12.2 Valores nominales de las cargas inductivas Módulo DL1017

Equipos disponibles

En las siguientes tablas, se presentan los valores nominales de cada equipo, necesarios para dar solución al presente ejercicio.

• Multímetro FLUKE 289

Con este equipo se medirán las cargas resistivas del módulo DL1017, debido a su baja incertidumbre en las mediciones. También, puede ser utilizado para medir tensiones y corrientes DC/AC, en una amplia variedad de rangos.

Tabla 5.12.3 Especificaciones de resistencia del Multímetro FLUKE 289

• Osciloscopio Rigol DS 1102E

El osciloscopio Rigol es un equipo que permite ver señales de tensión en tiempo real y capturas para señales transitorias. Cuenta con dos canales que permiten la instalación de pinzas amperimétricas y sondas, como lo es la FLUKE i310s que mide corrientes DC/AC, la FLUKE i1000s que solamente mide corrientes AC y la sonda P2220 con la cual se mide la tensión de los elementos de circuito.

Tabla 5.12.4 Especificaciones del Osciloscopio Rigol DS 1102E

• Pinza Amperimétrica FLUKE i310s.

Dicha pinza, internamente tiene un sensor que funciona bajo el principio del efecto hall que detecta corrientes DC y una bobina con la cual se miden corrientes AC. Es de gran utilidad cuando en el mismo circuito se van a medir diferentes corrientes, además ofrece la facilidad de mostrar la señal en un osciloscopio, puesto que tiene una relación de transformación de tensión a corriente.

Tabla 5.12.5 Especificaciones FLUKE i310s AC/DC Current Clamp.

• Puente RLC FLUKE PM6306

El puente RLC facilita la medición de inductancias y capacitancias, entregando información en forma de impedancia (magnitud y ángulo), henrios y microfaradios ya sea en modelo serie o paralelo. Permite, además, hacer las mediciones a diferentes frecuencias.

Tabla 5.12.6 Especificaciones del puente RLC FLUKE PM6306

Diagrama de flujo

Flujograma 5: Análisis de la respuesta de un circuito de primer orden RL, frente a dos fuentes con señales diferentes.

Circuito de primer orden RC, objeto de estudio

El siguiente circuito fue diseñado para lograr observar el comportamiento de la corriente del modelo real de la inductancia frente a la transición de una fuente constante en la transición entre la carga ante una fuente DC a una fuente sinusoidal de 120 Vrms o 170 Vp a una frecuencia de 60 Hz.

Posible solución

Las cargas elegidas para el circuito fueron tomadas del Módulo de cargas DL1017 del banco DeLorenzo número 4, así: R1 y R2 corresponden a la posición 7, la inductancia es L1 en posición 1. El interruptor del circuito será un selector de dos posiciones con un contacto normalmente abierto (NA) en la posición b y un contacto normalmente cerrado (NC) en la posición a.

Figura 5.12.1 Circuito RL para el ejercicio situado 5

Donde la escala de tiempo t se manejará en segundos para los cálculos teóricos, e es la corriente del modelo completo de la inductancia.

Se debe realizar el respectivo análisis en cada tiempo, para obtener la ecuación de la respuesta natural y forzada de la corriente, de carga y cambio de fuente en el modelo real de la inductancia, la cual se graficará, para tener claro lo que se espera ver en el osciloscopio Rigol DS 1102E. Luego, para hallar dichas respuestas, es necesario calcular las constantes de tiempo Τ del elemento almacenador de energía.

Para : En este instante tiempo, la fuente de tensión de no está encendida por lo que el inductor se encuentra descargado totalmente puesto que ha estado en esa condición mucho tiempo. Entonces, la corriente en la bobina en ese instante es cero como se muestra en la siguiente figura

Figura 5.12.2 Circuito RL para el ejercicio situado 5 en

Para : En la fuente DC de se enciende y un instante después la bobina se comportará como un circuito abierto, es decir, no permitirá que la condición inicial de carga de la corriente igual a cero, cambie bruscamente como lo muestra la siguiente figura

Figura 5.12.3 Circuito RL para el ejercicio situado 5 en

Para : En este intervalo, el inductor tuvo el tiempo suficiente para convertirse en un cortocircuito. La corriente a la que llegará la bobina será la impuesta por el circuito en el que está conectada. Esto sucedería, antes de conmutar el selector a la posición b en .

Figura 5.12.4 Circuito RL para el ejercicio situado 4 para

Para hallar la corriente , se reduce el circuito anterior haciendo una sumatoria en serie entre R1 y . A continuación, se halla la corriente con la ley de ohm.

Respuesta completa de la corriente para la carga de la bobina

Teniendo ya las condiciones iniciales de la corriente, se puede hallar la respuesta completa para la carga de la bobina; pero antes, se debe hallar la constante de tiempo , considerando que la resistencia para hallar el tau, es la resistencia equivalente Thevenin del circuito de la Figura 5.12.1 vista desde las terminales de la bobina.

Corriente en el modelo

La forma general de la respuesta completa de la corriente en el inductor ante una entrada DC es:

Donde

La respuesta forzada B para la corriente de la bobina L fue hallada anteriormente como:

Ahora evaluando la condición inicial en la respuesta completa en

Despejando K

Sustituyendo B, K y a en la ecuación 5.12.1 se tiene,

Esta corriente es válida para el modelo serie de la inductancia en la etapa de carga dado que la corriente que fluye es la misma.

Para : En el selector vuelve a ser operado para abrir su contacto, desconectándo el circuito de la posición a, y conectándolo al circuito de la posición b, dejando al modelo de la bobina conectada con un nuevo circuito, y un instante después convertirse en una fuente de corriente de valor inicial , como lo muestra la siguiente figura.

Figura 5.12.5 Circuito RL para el ejercicio situado 4 para

La figura anterior muestra un cambio de polaridad en el inductor, que se debe a que la bobina luego de cargarse y desconectarse de la fuente de alimentación primaria se va a convertir en una fuente de corriente, que no va a cambiar su dirección ni magnitud debido a la característica de no permitir cambios abruptos en la ella. Luego:

Para : En este intervalo de tiempo, la bobina se acoplará a la nueva condición de la fuente sinusoidal transitoriamente, ya que después se convertirá en una impedancia ligeramente inductiva, debido a su modelo real.

Respuesta completa de la corriente para el modelo real de la bobina conectada con una fuente sinusoidal

Teniendo ya las condiciones iniciales de la corriente, se puede hallar la respuesta completa para modelo real de la bobina con el cambio de fuente; pero antes, se debe hallar la constante de tiempo , considerando que la resistencia para hallar el tau, es la resistencia equivalente Thévenin del circuito de la Figura 5.12.5 vista desde las terminales de la bobina.

Corriente en el modelo

La ecuación diferencial general de un circuito RL a una entrada cualquiera es:

Reemplazando los valores de L, R y la función de entrada se tiene:

Donde Se desplaza a debido a que en se realiza la conmutación.

La forma general de la respuesta completa de la corriente en la inductancia ante una fuente sinusoidal es:

Donde es la respuesta forzada es la respuesta natural

Entonces, la velocidad angular de forzamiento será igual a la velocidad angular de la fuente, luego

Hallando la derivada de

Reemplazando e en la ecuación diferencial 5.7.5.5 se obtiene

Expandiendo la expresión y factorizando términos semejantes en el lado izquierdo de la ecuación

Igualando términos a ambos lados de la ecuación se tiene que

y,

De 5.7.5. 6 y 5.7.5. 7 se tiene que

Sustituyendo A y B se obtiene la respuesta forzada

Ahora se calcula la constante K de la respuesta natural partiendo de la respuesta completa y evaluando condición inicial en

Evaluando la condición inicial en

Simplificando y despejando K

Sustituyendo K en la ecuación 5.7.5.8 y finalmente la respuesta completa será:

Esta corriente es válida para el modelo serie de la inductancia en la etapa de cambio de fuente dado que la corriente que fluye es la misma.

Respuestas completas de la corriente de la carga y cambio de fuente para el modelo real del inductor

Finalmente se han calculado las respuestas referentes a los parámetros de la bobina de dicho circuito. Ahora se juntarán las respuestas de la corriente con una función a trozos como sigue:

Señal de corriente

Figura 5.12.6 Respuesta de la corriente del modelo real de la bobina a la carga y al cambio de fuente de alimentación

Simulación

Luego de realizar el análisis transitorio teórico con cálculos y gráfica de la respuesta de la corriente en el inductor del modelo real, se procede a simular el circuito objeto de estudio con el software de simulación NI Multisim 12.0 para comprobar su veracidad.

Se construye el circuito en el espacio de trabajo del programa y se añade el elemento que hará las veces de interruptor con tiempo de retardo como lo muestra la Simulación 5.12.1

Simulación 5.12.1 Pasos para insertar un interruptor con tiempo de retraso en NI Multisim 12.0

1. Clic en el botón Basic, donde se abrirá una ventana con una lista de los elementos disponibles en esa categoría.

2. Clic en SWITCH, donde se despliega una lista de todos los tipos de este elemento.

3. Clic en TD_SW1, para seleccionar el tipo de interruptor.

4. Finalmente presionar ENTER.

Luego se ubica adecuadamente el elemento con el cursor en el circuito, se procede a conectarlo, se accede a la ventana de parámetros de tiempo de interés y se modifican, como lo muestra la Simulación 5.12.2 ; tal y como se estableció inicialmente en el circuito objeto de estudio.

Simulación 5.12.2 Pasos para la configuración de tiempo del interruptor en NI Multisim 12.0

1. Doble clic encima del elemento donde se abrirá una ventana de opciones de configuración.

2. Clic en Value, donde se especifican los tiempos de trabajo.

3. Clic en OK, para guardar la configuración.

Después de realizar todo el montaje en la interfaz, se procede a correr la simulación del transitorio para las variables de interés, como lo es la corriente en el modelo real de la inductancia, así se muestra paso a paso en las siguientes figuras.

Simulación 5.12.3 Pasos para acceder a la ventana de análisis transitorio

1. Clic en Simulate, donde muestra todas las opciones y herramientas de la simulación.

2. Clic en Analyses, donde se muestra los diferentes tipos de análisis que se pueden implementar en un determinado sistema.

3. Clic en Transient analysis.

Simulación 5.12.4 Pasos para la configuración de la ventana del menú Parámetros del análisis

1. Desplegar la lista del submenú Initial conditions y elegir la opción Set to zero. Con esto se garantizará que las condiciones del circuito sean nulas.

2. Escribir el tiempo de inicio (TSTART) y parada (TSTOP) de la simulación del transitorio en el submenú Parameters. Con ello se garantizará ver el comportamiento de la corriente de la carga y cambio de fuente a una sinusiodal del modelo real de la bobina.

3. En el mismo submenú Parameters, seleccionar la opción Maximum time step settings (TMAX) y escribir el tiempo de muestreo de datos.

Simulación 5.12.5 Pasos para la configuración de la ventana del menú Salida

1. Desplegar la lista de opciones del submenú Variables in circuit y escoger la opción All variables. Aquí se mostrará la lista de las variables del circuito y se elegirá la de interés dando clic sobre ella.

2. Con la variable elegida, se da clic en el botón Add , para que la variable se traslade a la lista de variables de interés para hacer el análisis y graficar su respuesta.

3. Dar clic en Simulate para iniciar la simulación.

Simulación 5.12.6 Gráfica que muestra el resultado de la simulación de la corriente de la bobina.

Ya estando lista la gráfica, se procede a medir con los cursores el tiempo de carga y de descarga como también el valor de la corriente en cada caso.

Simulación 5.12.7 Pasos para sacar los cursores para la medición de la corriente en cada fuente.

1. Dar clic en en el ícono Show cursors de la barra de herramientas. Sobre el eje vertical aparecerán dos cursores.

2. Los cursores pueden ser desplazados con el ratón, haciendo clic sostenido para medir la corriente de carga y cambio de fuente a una sinusiodal.

Simulación 5.12.8 Paso para obtener la posición de pareja ordena de tiempo vs miliamperios

1. Dar clic derecho sobre el punto, donde se desplegará una lista y se escoje la última opción Add data label at cursor. Esto permitirá obtener la medición como una pareja ordena del punto, como se muestra en la siguiente figura.

Simulación 5.12.9 Fijación de un punto especial donde se muestra el tiempo y la corriente de carga

Finalmente obtenemos la medición del tiempo de carga y cambio de fuente de la corriente como se muestra en la siguiente figura

Simulación 5.12.10 Medición de tiempo de carga y descarga de la corriente del modelo real de la bobina

 

Práctica Ejercicio Situado 4: Carga - descarga del inductor y medición de la constante de tiempo 5Τ.	Práctica Ejercicio Situado 5: Respuesta de un circuito de primer orden RL, frente a dos fuentes con señales diferentes.