1.10. Ejercicio Situado 3: Comportamiento de un circuito de primer orden RC, frente a dos fuentes con señales diferentes.

En la sesión 9 de la clase de circuitos III de la Universidad Francisco José de Caldas, Facultad Tecnológica, el docente encargado, desarrolló el tema de (Respuesta completa ante fuentes distintas a escalón, como senoidales, rampas, polinomiales y combinaciones) haciendo las respectivas demostraciones para cada caso, dejando como actividad para refuerzo personal de cada estudiante, graficar las ecuaciones demostradas por el docente. La estudiante Julieth Avendaño interesada por el tema, realizó dicha actividad y le llamó mucho la atención la respuesta completa para fuente senoidal, entonces, decidió diseñar un circuito de primer orden que tuviera dos fuentes: una senoidal y una escalón (la última ya estudiada), con el fin de observar el comportamiento del modelo real del condensador frente a ellas. La siguiente clase propuso su circuito al docente, para realizar entre todos, una práctica en el laboratorio de Máquinas Eléctricas.

Valores nominales cargas:

Para ser precisos, se miden las cargas del Módulo DL1017 DeLorenzo a una frecuencia de operación de 60 Hz utilizando el Puente RLC FLUKE PM6306 (cargas inductivas y capacitivas) y el multímetro FLUKE 289 (carga resistiva) registrando los siguientes valores:

Tabla 5.10.1 Valores nominales de las cargas resistivas módulo DL1017

Tabla 5.10.2 Valores nominales de las cargas capacitivas Módulo DL1017

Equipos disponibles

En las siguientes tablas, se presentan los valores nominales de cada equipo, necesarios para dar solución al presente ejercicio.

• Multímetro FLUKE 289

Con este equipo se medirán las cargas resistivas del módulo DL1017, debido a su baja incertidumbre en las mediciones. También, puede ser utilizado para medir tensiones y corrientes DC/AC, en una amplia variedad de rangos.

Tabla 5.10.3 Especificaciones de resistencia del Multímetro FLUKE 289

• Osciloscopio Rigol DS 1102E

El osciloscopio Rigol es un equipo que permite ver señales de tensión en tiempo real y capturas para señales transitorias. Cuenta con dos canales que permiten la instalación de pinzas amperimétricas y sondas, como lo es la FLUKE i310s que mide corrientes DC/AC, la FLUKE i1000s que solamente mide corrientes AC y la sonda P2220 con la cual se mide la tensión de los elementos de circuito.

Tabla 5.10.4 Especificaciones del Osciloscopio Rigol DS 1102E

• Puente RLC FLUKE PM6306

El puente RLC facilita la medición de inductancias y capacitancias, entregando información en forma de impedancia (magnitud y ángulo), henrios y microfaradios ya sea en modelo serie o paralelo. Permite además, hacer las mediciones a diferentes frecuencias.

Tabla 5.10.5 Especificaciones del puente RLC FLUKE PM6306

Diagrama de flujo

Flujograma 3: Análisis del comportamiento de un circuito de primer orden RC, frente a dos fuentes con señales diferentes.

Circuito de primer orden RC, objeto de estudio

Para solucionar el circuito propuesto, la estudiante siguió los pasos y características programadas en el diagrama de flujo 3.

Posible solución

Las cargas elegidas para el circuito fueron tomadas del módulo de cargas del banco DeLorenzo, banco número 4, así: R12 es equivalente a la suma de las dos primeras resistencias del módulo y R3 corresponde a la tercera resistencia del mismo, todas en posición 1; el condensador C en cambio, es el paralelo entre C1,C2 y C3 en posición 7. Como el condensador en cualquiera de las posiciones del selector va a estar alimentado por fuentes, se decidió poner un selector (S1) con contacto (NA) en el lazo de la izquierda para certificar que el capacitor entre a funcionar con condición de cero voltios. El otro interruptor (S2) que se instalará en el circuito será un selector con un contacto normalmente abierto (NA), que será la posición b, y un contacto normalmente cerrado (NC), que será la posición a.

El circuito se diseñó con dos fuentes como se muestra en la Figura 5.10.1; pero, la fuente senoidal se programará para que entregue , es decir para efectos de la simulación, porque NI Multisim 12.0 solo permite configurar en esa fuente.

Figura 5.10.1 Circuito propuesto para el ejercicio situado 3.

Donde la escala de tiempo t se manejará en segundos

Primero, se debe realizar el respectivo análisis en cada tiempo, para obtener la ecuación de la respuesta natural y forzada de tensión en el proceso de carga del condensador, la cual será graficada, de este modo se sabrá lo que se espera ver en el osciloscopio Rigol DS 1102E. Entonces, para hallar dichas respuestas, es necesario calcular las constantes de tiempo Τ y las tensiones que alcanzará elemento almacenador de energía.

Para : El selector en se encontrará en la posición a, es decir, en el contacto NC del selector S2, pero en ese mismo instante el contacto NA del selector S1 estará abierto; con esto se presumirá que la condición de tensión en el condensador será cero, antes de conmutar el selector S1 para cerrar el contacto normalmente abierto en .

Para : En el contacto NA del selector S1 se cierra, permitiendo que el condensador comience a cargarse con la fuente escalón , entonces, como el condensador no soporta cambios bruscos de tensión, la condición inicial seguirá siendo cero.

Figura 5.10.2 Circuito propuesto para el ejercicio situado 3 para

Sólo en este instante el condensador se va a identificar como un cortocircuito, a causa de su intolerancia a los cambios repentinos de tensión.

Para : En este intervalo de tiempo, el condensador ya se habrá cargado hasta la tensión de su resistencia modelo , a un ritmo determinado por la constante . El condensador no se cargará hasta la tensión de la fuente , porque la resistencia que está en paralelo a él, no permitirá que la corriente sea cero, es decir, no dejará que el circuito quede abierto, motivo por el cual la resistencia R12 tendrá una caída de tensión. Luego, cuando el condensador llegue a dicho voltaje, se comportará como un circuito abierto. Todo esto ocurrirá antes de conmutar el selector en .

Figura 5.10.3 Circuito propuesto para el ejercicio situado 3 para

Hallando la resistencia total del circuito

Calculando la corriente del circuito en

Finalmente hallando la tensión en el condensador en

Respuesta completa para la carga del condensador con fuente escalón.

Luego de haber encontrado las condiciones iniciales para la tensión en el condensador, se procede a calcular la constante de tiempo , teniendo en cuenta que la resistencia para hallar el tau es la resistencia equivalente Thevenin del circuito de la figura Figura 5.10.3 vista desde los terminales del condensador.

El condensador a los va a almacenar el 99.3 de energía en forma de campo eléctrico.

Tensión en el modelo.

Se toman los valores de tensión, calculados anteriormente para cada instante de tiempo, lo siguiente será hallar la respuesta completa para la carga en el condensador. La forma general para dicha respuesta ante una fuente de entrada DC es:

Donde

La respuesta forzada B para la tensión en el capacitor C fue hallada anteriormente como:

Evaluando la condición inicial en la respuesta completa para .

Despejando K

Sustituyendo B,K y a en la ecuación 5.10.1 se tiene,

Para : En el selector cambia a la posición b, cerrando el contacto NA. Un instante después de que ocurre lo anterior, en , el condensador; que ahora será una fuente de tensión, quedará conectada a la resistencia R3 y a la fuente sinusoidal , como se muestra en la siguiente figura.

Figura 5.10.4 Circuito propuesto para el ejercicio situado 3 en

Para : En este momento, el condensador se acoplará a la nueva condición de la fuente sinusoidal transitoriamente. Posteriormente, ese elemento se convertirá en una impedancia ligeramente capacitiva, debido a su modelo real.

Figura 5.10.5 Circuito propuesto para el ejercicio situado 3 para

Respuesta completa de la tensión para el modelo real del condensador conectado a una fuente sinusoidal

Habiendo calculado las condiciones iniciales de la tensión, ahora es posible hallar la respuesta completa para el modelo real del condensador con la nueva conmutación que lo deja conectado a la fuente sinusoidal. Antes, se encontrará la constante de tiempo , teniendo en cuenta que la resistencia que se usará será la resistencia Thevenin del circuito de la Figura 5.10.5 vista desde los terminales del condensador.

Tensión en el modelo

La ecuación diferencial general de un circuito RC a una entrada cualquiera es:

Para el circuito de la figura Figura 5.10.5 se hallará su ecuación diferencial, encontrando una expresión que tendrá la misma forma de la ecuación 5.10.2.

Haciendo transformación de fuentes.

Figura 5.10.6 Transformación de fuentes

Donde se desplaza a debido a que en se realiza la conmutación.

Para encontrar la ecuación diferencial del circuito b, se hará una sumatoria de corrientes, así:

Reuniendo términos semejantes.

Despejando

Reemplazando los valores de Rc, R3 y C en la función de se tiene:

Sustituyendo se tiene la ecuación diferencial para este circuito en particular:

La forma general de la respuesta completa de la tensión en el capacitor ante una fuente sinusoidal es:

Donde , es la respuesta forzada de la tensión en el condensador es la respuesta natural

Entonces, la velocidad angular de forzamiento será igual a la velocidad angular de la fuente, luego

Hallando la derivada de

Reemplazando y en la ecuación diferencial 5.7.5.1 se obtiene

Expandiendo la expresión y factorizando términos semejantes en el lado izquierdo de la ecuación

Igualando términos a ambos lados de la ecuación se tiene que

y,

De 5.7.5.2 y 5.7.5.3 se tiene que

Sustituyendo A y B se obtiene la respuesta forzada

Ahora se calcula la constante K de la respuesta natural partiendo de la respuesta completa y evaluando condición inicial en

Evaluando la condición inicial en

Simplificando y despejando K

Sustituyendo K en la ecuación 5.7.5.4, la respuesta completa será:

Esta tensión es válida para el modelo paralelo del condensador en la etapa de cambio de fuente dado que la tensión es la misma en los dos elementos.

Respuestas completas de la tensión de la carga y cambio de fuente para el modelo real del capacitor.

Finalmente se han calculado las respuestas referentes a los parámetros del condensador de dicho circuito. Ahora se juntarán las respuestas de la tensión con una función a trozos como sigue:

Señal de tensión

Figura 5.10.7 Repuesta completa de tensión en modelo real del condensador a la carga y al cambio de fuente de alimentación.

Simulación

Luego de realizar el análisis transitorio teórico con cálculos y gráfica de la respuesta de la tensión en el modelo real del condensador, se procede a simular el circuito objeto de estudio con el software de simulación NI Multisim 12.0 para comprobar su veracidad.

Se construye el circuito en el espacio de trabajo del programa y se añade dos elementos que harán las veces de interruptor con tiempo de retardo como lo muestra la Simulación 5.10.1

Simulación 5.10.1 Pasos para insertar un interruptor con tiempo de retraso en NI Multisim 12.0

1. Clic en el botón Basic, donde se abrirá una ventana con una lista de los elementos disponibles en esa categoría.

2. Clic en SWITCH, donde se despliega una lista de todos los tipos de este elemento.

3. Clic en TD_SW1, para seleccionar el tipo de interruptor.

4. Finalmente presionar ENTER.

Luego se ubica adecuadamente el elemento con el cursor en el circuito, se procede a conectarlo, se accede a la ventana de parámetros de tiempo de interés y se modifican, como lo muestran la Simulación 5.10.2 y Simulación 5.10.3; tal y como se estableció inicialmente en el circuito objeto de estudio.

Simulación 5.10.2 Pasos para la configuración de tiempo del interruptor S1 en NI Multisim 12.0

El tiempo configurado en el campo (TON) del interruptor S1 fue de 2 , porque ese es el tiempo máximo de duración de la simulación; entonces, S1 cambia a la posición que no está conectada al circuito (llamada x) inmediatamente se abra la ventana de análisis transitorio, por eso se ingresa 0 en el campo (TOFF), luego, al momento de empezar a simular, el interruptor pasará a la posición y que está conectada al circuito, para empezar a energizar el condensador con la fuente escalón. Finalmente, pasados los 2 el interruptor S1 se vuelve a la posición x, para que el condensador después de las respectivas conmutaciones del interruptor S2, quede desalimentado de las dos fuentes.

Simulación 5.10.3 Pasos para la configuración de tiempo del interruptor S2 en NI Multisim 12.0

Para configurar los interruptores correctamente se siguen los siguientes pasos:

1. Doble clic encima del elemento donde se abrirá una ventana de opciones de configuración.

2. Clic en Value, donde se especifican los tiempos de trabajo.

3. Clic en OK, para guardar la configuración.

Después de realizar todo el montaje en la interfaz, se procede a correr la simulación del transitorio para las variables de interés, como lo es la tensión en el modelo real del condensador, mostrado paso a paso en las siguientes figuras.

Simulación 5.10.4 Pasos para acceder a la ventana de análisis transitorio

1. Clic en Simulate, donde muestra todas las opciones y herramientas de la simulación.

2. Clic en Analyses, donde se muestra los diferentes tipos de análisis que se pueden implementar en un determinado sistema.

3. Clic en Transient analysis.

Simulación 5.10.5 Pasos para la configuración de la ventana del menú Parámetros del análisis

1. Desplegar la lista del submenú Initial conditions y elegir la opción Set to zero. Con esto se garantizará que las condiciones del circuito sean nulas.

2. Escribir el tiempo de inicio (TSTART) y parada (TSTOP) de la simulación del transitorio en el submenú Parameters. Con ello se garantizará ver el comportamiento de la tensión en el proceso de carga y de cambio de fuente a una sinusiodal del modelo real del condensador.

3. En el mismo submenú Parameters, seleccionar la opción Maximum time step settings (TMAX) y escribir el tiempo de muestreo de datos.

Simulación 5.10.6 Pasos para la configuración de la ventana del menú Salida

1. Desplegar la lista de opciones del submenú Variables in circuit y escoger la opción All variables. Aquí se mostrará la lista de las variables del circuito y se elegirá la de interés dando clic sobre ella.

2. Con la variable elegida, se da clic en el botón Add , para que la variable se traslade a la lista de variables de interés para hacer el análisis y graficar su respuesta.

3. Dar clic en Simulate para iniciar la simulación.

Simulación 5.10.7 Gráfica resultante de la simulación de la tensión en el condensador.

Ya estando lista la gráfica, se procede a medir con los cursores el tiempo de carga y de descarga como también el valor de la tensión en cada caso.

Simulación 5.10.8 Pasos para sacar los cursores para la medición de la tensión en cada fuente.

1. Dar clic en en el ícono Show cursors de la barra de herramientas. Sobre el eje vertical aparecerán dos cursores.

2. Los cursores pueden ser desplazados con el ratón, haciendo clic sostenido para medir la corriente de carga y cambio de fuente a una sinusiodal.

Simulación 5.10.9 Paso para obtener la posición de pareja ordena de tiempo vs tensión.

1. Dar clic derecho sobre el punto, donde se desplegará una lista y se escoje la última opción Add data label at cursor. Esto permitirá obtener la medición como una pareja ordena del punto, como se muestra en la siguiente figura.

Finalmente obtenemos la medición del tiempo de carga y cambio de fuente de la corriente como se muestra en la siguiente figura.

Simulación 5.10.10 Medición de tiempos y tensiónes de la señal de tensión del condensador

 

Práctica Ejercicio Situado 2: Cambios a la energización en un circuito RC.	Práctica Ejercicio Situado 3: Comportamiento de un circuito de primer orden RC, frente a dos fuentes con señales diferentes.